الدرس السادس للجبر

الدرس السادس للجبر ..

" المتتابعـــآت والمتسلســـلآت " ..

أولاً : المتتابعة الحسابية ..

انظر معي الى هذه المتتابعة :
2 , 4 , 6 , 8

وهذه المتسلسلة :
8+6+4+2

استنتج ما الفرق بين المتتابعة والمتسلسة .؟
الفرق هو مجرد الاختلاف فيما بين الحدود .. فالمتتابعة يفصل بينها حدودها الفواصل بينما المتسلسلة فهي عملية الجمع ..

ماذا تلاحظ في هذه المتسلسة . 2 + 4+ 6 + 8 ؟؟
هل تستطيع استنتاج الحد الذي يلي 8 ..؟
بالتأكيد 10 .. وذلك لأن الفرق بين كل حد والحد الذي يسبقه هو 2 ..أي أن د = ح ن – ح ( ن-1 )
اذن هذا العدد 2 هو أساس المتسلسلة ويرمز له بالرمز د بالعربي و d بالانجليزي ..
حتى نوجد أي متتابعة أو متسلسلة يلزمنا ذلك معرفة الحد الأول ومعرفة د ..
يرمز للحد الأول بالرمز ح1 .. وبالانجليزي a1 ..

اذا كان ح1 = 5 و د =4 .. فماا هو الحد الثالث ( a3 ) ..؟
ببساطة يمكننا ايجاده وذلك أن ح2 = 5+4 = 9 ,, اذن ح3 = 9+4 = 13 ..

بهذه الطريقة نحسب الأعداد البسيطة .. لكن لو طلب منك حساب ح50 ..؟؟

لذا فيوجد لدينا قانون يختصر علينا ومفيد جداا .. وهو أن :
ح ن = ح1 + د(ن-1) ..
أو : ح ن = ح1 + دن – د ..

فلو طلب ح 50 .. اعوض وأقول :
ح 50 = 5 + 4 ( 50 -1 )
ح50 = 201

وبذلك نستطيع ايجاد أي ح ن ..

ملاحظة : يرمز لعدد الحدود بــ ن ..
أمثلة :
مثال(1) : هل المتتابعة : {ح ن } ={ 3 , 7 , 11 ,15…..} حسابية ؟؟ ولم ؟

جواب(1) : المتتابعة حسابية لأن ح ن +1 – ح ن = 4 ، لجميع قيم ن ..

مثال(2) : أوجد الحد الثالث عشر (ح13) للمتتابعة الحسابية : {1،-3،-7،-11،….} .

جواب(2) : أساس المتتابعة (د) = (-3)-(1) = -4 ، الحد الأول (أ1) =1 ، إذن :

ح13 = 1 + (13 – 1) × -4 = 1 + (- 48) = – 47 .

مثال (3) : اذا كان الحد الخامس ( ح 5 ) = 21 و الحد الأول ح1 = 9 .. فأوجد د ؟؟

جواب (3) : من القانون : ح ن = ح1 + د(ن-1) ..

نعوض : ح 5 = ح1 + 4 د ..
نعوض : 21 = 9 + 4د
21 -9 = 4 د
12 = 4 د
د =3 ..

………………………………………….. …………….

نأتي الى مجموع المتتالية الحسابية ..

لو طلب منكم ايجاد مجموع المتسلسة الآتية :
2 + 4 + 6 +8 .. ستجد بأن الجواب وبكل سهولة = 20 ..
نستطيع حسابها بسهولة وذلك لأنها مكونة فقط من أربع حدود أي أن ن = 4 فقط ..
لكن لو كانت ن = 43 مثلاا .. فهل ستسطيع ايجادها بسهولة ,,
هناك قانون يقول بأن مجموع المتتالية الحسابية هو :

أي أن : ( الحد الأخير + الحد الأول ) × ن /2 = مجموع المتتابعة الحسابية ..

ولها قانون آخر وهو مستنتج ببساطة من القانون الأول وهو :

والقانون الثاني هو الأكثر استعمالاً ..

………………………………………….. ……………………

أوجد مجموع المتتابعة الحسابية التي حدها الأول = 4 و أساسها د = 6 وعدد حدودها 7 ..

الحل : قانون المتتابعة الحسابية " نستخدم القانون الثاني " :

………………………………………….. …………………….

الأسئلة :
أوجد قيمة س في المعادلة :

1 + 7 + 13 + …. + س = 280
………………………………………….. ……………….

إذا كان مجموع السبعة عشر حدا الأولي من متتابعة حسابية =289

أوجد قيمة ح1 + ح8 + ح 18

………………………………………….. ……………..

ما ترتيب أول حد قيمته أكبر من 1000 في المتتالية الحسابية (2 , 4 , 6 …) ..؟؟

………………………………………….. …………….